Рас­смот­рим ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды  — тре­уголь­ник ABC. Пусть сто­ро­на AB равна x. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ме­ди­а­ны, бис­сек­три­сы и вы­со­ты равны, по­это­му, рас­смат­ри­вая тре­уголь­ник ABH, где AH  — вы­со­та, имеем:

Рас­смот­рим те­перь тре­уголь­ник Про­ве­дем вы­со­ту SK, тогда: Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна

Ответ: 60.

Вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Най­дем ко­ор­ди­на­ты точек P и Q как ко­ор­ди­на­ты се­ре­дин со­от­вет­ству­ю­щих от­рез­ков. Имеем: от­ку­да Сле­до­ва­тель­но,

Ко­си­нус угла между пря­мы­ми равен мо­ду­лю ко­си­ну­са угла между на­прав­ля­ю­щи­ми век­то­ра­ми этих пря­мых:

Най­дем зна­че­ние ис­ко­мо­го вы­ра­же­ния:

Ответ: 160.

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков AMH и ASO: от­ку­да Точка O  — центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, в нее про­еци­ру­ет­ся вы­со­та SO. Пусть сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна a, тогда вы­со­та Из свой­ства бис­сек­три­сы в тре­уголь­ни­ке SLA:

Тре­уголь­ник SLO  — пря­мо­уголь­ный,

Тогда

Ответ: 28.

По тео­ре­ме си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке MSB:

Угол SHB  — пря­мой, так как угол SMH равен 45°, угол MSH также равен 45°, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник MSH  — рав­но­бед­рен­ный, MH  =  SH. По свой­ству пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, BH : MH  =  2 : 1, сле­до­ва­тель­но, BH : SH  =  2 : 1. Пусть SH  =  x, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке SHB:

Таким об­ра­зом, от­сю­да В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABC лежит пра­виль­ный тре­уголь­ник ABC, его внут­рен­ние углы равны 60°. Угол AMB  — пря­мой, угол ABM равен 30°, сле­до­ва­тель­но, Пусть AM  =  a, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ABM:

Таким об­ра­зом, Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC:

Най­дем объем пи­ра­ми­ды SABC:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Пусть точка O  — центр ос­но­ва­ния, точка M  — се­ре­ди­на ребра BC. Тогда Пусть SM  =  3x, зна­чит:

сле­до­ва­тель­но,

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке BMS:

Най­дем зна­че­ние ис­ко­мо­го вы­ра­же­ния:

Ответ: 54.